?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Принцип Дирихле

Вы думаете это я поругался? Ничего подобного.
Столько лет живу и сколько всего нового узнаю с Тимуром!!

Вчера был ничем не привлекательный вечер. Игры, конструкторы, музыка… и вот мы вспомнили, что должны появиться новые задачки по математике. Открыли, начали решать.
По совету ЖЖ-друзей делаю фотки решений Тимура.

1. У отца и матери три дочери; у каждой дочери есть один брат. Сколько всего детей в этой семье?

Первая задача решилась без особых проблем. Хотя ответ 6 вначале манил Тима своей очевидностью.

2. У МатеМаши есть головоломка из семи частей круга. На круге нарисована божья коровка. Крылья божьей коровки красные с круглыми чёрными пятнышками. Расцветка крыльев одинаковая, то есть пятнышки на разных крыльях расположены друг напротив друга. МатеМаша выложила четыре части головоломки на свои места, и собирается положить еще три. Но уже сейчас можно узнать, сколько всего пятнышек на крыльях божьей коровки. Сколько же их?


МатеМаша со своей божьей коровкой пошла веселее. Симметрия любого заинтересует!

3. В доме 20 комнат. 15 из них нравятся взрослым, 10 — нравятся детям, а 3 не нравятся ни детям, ни взрослым. Сколько комнат в доме нравятся всем: и детям, и взрослым?


Комнаты были отрисованы так. Любопытно пошла мысль:)

А вот следующая задачка побудила нас на целое расследование.

4. В чемодане лежит 5 одинаковых пар белых перчаток и 15 одинаковых пар чёрных. Какое наименьшее число перчаток нужно вынуть не глядя, чтобы среди них наверняка оказались левая и правая перчатки одного цвета?


Вначале Тим попытался решить с помощью наглядного метода как с сороконожкой и туфлями. Но запутался, конечно.

Я догадался чисто логически. Однако, чуть чуть порывшись мы поняли что за этим решением стоит простой принцип. И как оказалось давно сформулированный.

Эти задачи очень популярны на разных математических олимпиадах. Причем не только в лоб, но и с небольшими усложнениями, уходом в геометрию.

Как мы прочитали у одного репетитора.

Составители вступительных экзаменов в сильные математические школы очень любят включать в свои варианты олимпиадные задачи на принцип Дирихле. Однако их содержание не отличаются особым разнообразием, ибо сюжет задач должен точь в точь повторить условие принципа. Репетитор по математике обычно тратит на задачи данной тематики более одного олимпиадного урока из за достаточно сложной логики доказательств.

При́нцип Дирихле́ — утверждение, названное в честь автора немецкого математика, который жил в 19 веке. Данное утверждение устанавливает связь между объектами при выполнении определённых условий. Данный метод автор успешно применял его к доказательству арифметических утверждений. Принцип Дирихле применяется в разных разделах математики: в арифметике, в комбинаторике, в геометрии.

По традиции принцип Дирихле объясняют на примере "кроликов и клеток". Самая популярная формулировка принципа Дирихле звучит так:

"Если в n клетках сидит n+1 или больше кроликов, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два кролика".

Более общая формулировка принципа: «Если k кроликов сидят в n клетках (k>n), то найдётся клетка, в которой не менее k/n кроликов»

Заметим, что в роли кроликов могут выступать различные предметы и математические объекты - числа, отрезки, места в таблице и т. д. Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит разобраться, что в ней — "клетки", а что — "кролики". Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве.

А дальше для понимания мы просто поиграли с Тимуром в вопрос-ответ, чтобы он уловил идею и принцип.

Задача: Шесть школьников съели семь конфет. Докажите, что один из них съел не менее двух конфет.
Он конечно, шустро уловил, что школьников меньше, чем конфет. А значит "лишняя" конфетка кому-то досталась.

Задача: Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели

Тут уже сложнее, потому что надо сообразить, что игроков на поле 11, в дней недели 7. Но справились.

А вот уж и наши перчатки-шарики пошли

Задача В мешке лежат шарики 2-х разных цветов (много белых и много черных). Какое наименьшее количество шариков надо на ощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета.

После этой задачки и теории подойти к решению нашей задачи про перчатки оказалось довольно просто.

И это мы лишь немного затронули тему комбинаторики и принципа Дирихле. Порылись – нашли кучу интересных задач. Будем думать, кто в каждой из них кролик, а кто клетка. Очень жаль что в кружке нет теоретической части. Ведь очевидно, что решение этой задачки без теории невозможно с полным пониманием.

5. Нитку сложили вдвое, ещё раз вдвое и ещё раз вдвое. Получившуюся толстую нитку разрезали на две части и разобрали на тонкие нитки. Оказалось, что три из этих ниточек имеют длины 4 см, 8 см и 10 см. Какова длина исходной нитки?

Последняя задачка про нитки решилась визуальным способом – путем реального сложения – разрезания нити. Ответ оказался неожиданным для меня.

Получили огромное удовольствие от задач этой недели. И вот такой интересный принцип узнали!!!!
Век живи - век учись!

promo a_katkov october 17, 2013 10:36 15
Buy for 300 tokens
Наш семейный бизнес - это качественные аккумуляторы производства Германии - MOLL и производства Японии - GS YUASA. Для автомобиля, мотоцикла, скутера, лодки, кэмпера и любой другой техники, нуждающейся в энергии. ЖЖ-жители России могут заказать аккумуляторы с доставкой. Взаимным друзьям по ЖЖ -…

Comments

( 27 comments — Leave a comment )
svetlanka_1982
Feb. 9th, 2015 02:17 pm (UTC)
М
мы отправили) но про пятнышки я смотрю решили не правильно(. В первый класс даже страшно заглядывать)
a_katkov
Feb. 9th, 2015 03:30 pm (UTC)
Re: М
реально достаточно сложные задачи. Где бы еще они выкладывали теоретическую часть. Зато есть о чем подумать.
nat_nat
Feb. 9th, 2015 03:17 pm (UTC)
Вот и мы вместе с Тимом мозг размяли :))
a_katkov
Feb. 9th, 2015 03:31 pm (UTC)
не говорите.. что только не узнаешь:)))
angelu6a77
Feb. 9th, 2015 03:48 pm (UTC)
Спасибо! Не слышала о таком принципе. Похоже, мне самой надо готовиться в первый класс. :)))
a_katkov
Feb. 9th, 2015 05:29 pm (UTC)
и я бы не отказался. Нов первом классе такого не проходят:)
Самое интересное, что все, что я нашел об этом принципе - это математические кружки и то !!!! 5-6 класс!!!
Как эта задач оказалась в 1 классе?:)
svetlanka_1982
Feb. 9th, 2015 08:20 pm (UTC)
Вот мне кажется тут выше задачки. Я в первый класс даже боюсь заходить)
angel_nastenka
Feb. 12th, 2015 09:20 am (UTC)
ну вот я выспалась и сразу подумала: ведь надо выбрать половину перчаток одного цвета (на одну руку) плюс аналогично половину перчаток второго цвета (5+15) и любая следующая составит пару. И всё. А мы, взрослые, лезем в дебри сразу...
a_katkov
Feb. 12th, 2015 09:37 am (UTC)
ну так и я так решил как вы - чистой логикой... но мы ж не на 1 раз хотим понимания.
Тем более таких задачи много:) и не все так однозначны:)
А тут раз и принцип - только решай кто клетки, кто кролики. И все:)
a_katkov
Feb. 12th, 2015 09:38 am (UTC)
и дети то, дети... 6-7 летки догадались?
natusic
Feb. 9th, 2015 04:41 pm (UTC)
Задача: Папа, мама и старшие сестры ужинают, а младший бpат Васенька сидит под столом и пилит ножку стола со скоростью 3 см в минуту. Через сколько минут закончится ужин, если толщина ножки стола 9 см?)))))
a_katkov
Feb. 9th, 2015 05:32 pm (UTC)
вопрос риторический:))) но в данном раскладе решаемый математически...
Часть задач на принцип Дирихле вообще очевидными способами не берутся.
К примеру!
«Король-самоубийца». На шахматной доске размером 1000 на 1000 стоит чёрный король и 499 белых ладей. Докажите, что при произвольном первоначальном расположении фигур король может стать под удар белой ладьи, как бы не играли белые.

ИЛИ

15. В пространстве расположено n точек так, что любые четыре из них являются вершинами тетраэдра с объёмом не большим k. Докажите, что все эти точки можно заключить в некоторый тетраэдр, объём которого равен 5k.
svetlanka_1982
Feb. 9th, 2015 04:46 pm (UTC)

Но это очень объединяет)

a_katkov
Feb. 9th, 2015 05:32 pm (UTC)
ага это факт!
i_tochka
Feb. 9th, 2015 07:15 pm (UTC)
Есть такая замечательная книжка Математика в твоих руках. Там много таких интересных задачек.
a_katkov
Feb. 9th, 2015 07:50 pm (UTC)
да эту мы почти всю перерешали:))) она у нас штатно в машине живет:)Но на этот принцип там задачек нет.
Зато много других интересных тем

Edited at 2015-02-09 07:50 pm (UTC)
tanushkin_biser
Feb. 9th, 2015 08:28 pm (UTC)
жалко, я не все картинки вижу..
a_katkov
Feb. 10th, 2015 06:25 am (UTC)
а почему?
shvarchik
Feb. 9th, 2015 08:52 pm (UTC)
что-то я туплю кто там кролики а кто перчатки и как их вообще соединить. ответ вроде 21?
a_katkov
Feb. 10th, 2015 06:30 am (UTC)
да ответ 21.
Тут главное догадаться что кролики это попытки (Ну это мы так рассуждаем), а пары перчаток (их 20) это клетки.
vasya_lesya
Feb. 10th, 2015 09:56 am (UTC)
У нас папа занимается с ребенком математикой, я даже не вникаю :))
a_katkov
Feb. 10th, 2015 10:02 am (UTC)
а мы всей семьей... так получается эффективнее - ребенок видит, что это всем интересно и сразу сам подтягивается. Ну и нет у него ощущения что это что-то такое чтобы "мучить детей":)
Но у вас еще кружок - там наверняка эту всю теорию рассказывают:)))
vasya_lesya
Feb. 10th, 2015 10:04 am (UTC)
у нас Ване и папе это в радость :)
а маме нет - зачем себя мучать? :)))
a_katkov
Feb. 10th, 2015 10:09 am (UTC)
совершенно незачем:) у нас просто мама математику очень любит:)
lesikilizun
Feb. 18th, 2015 08:32 pm (UTC)
а откуда эти задачки? Какой то кружок?
a_katkov
Feb. 19th, 2015 06:45 am (UTC)
да:) дистанционный кружок в Питере http://kruzhki30.ru/
livejournal
Feb. 18th, 2015 08:33 pm (UTC)
Принцип Дирихле
Пользователь lesikilizun сослался на вашу запись в своей записи «Принцип Дирихле» в контексте: [...] Оригинал взят у в Принцип Дирихле [...]
( 27 comments — Leave a comment )

Profile

a_katkov
Алексей Катков

Latest Month

October 2018
S M T W T F S
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031   

Tags

Powered by LiveJournal.com
Designed by Tiffany Chow